🔥Blender傅里叶画画
本篇效果:
前言： 最近在【编程德鲁伊】的【傅里叶级数可视化】章节中，练习了傅里叶级数基础原理的可视化，演示了周期方波曲线，可以分解为一系列正弦波曲线：
上边是JavaScript (React) 版，另有 Python (Blender) 版、 Unity 版。
这次拿学到的知识做个实验，试试喜闻乐见的【用傅里叶级数画画】，并尽可能简单直观的解释一下原理。
自认为简单直观的原理解释
之前练习的可视化，都是在二维空间进行，例如正弦波：
方波（通过傅里叶级数）：
图中左半边的圆周（Epicycle）和右半边正弦波/方波的关系：
- 左半边是一个运动点，在一个圆周或多个圆周组合上随着时间t转动；
- 右半边，是将时间t映射到横轴x轴上，纵轴仍是运动点当前的y值保持不变。
也就是说，把时间域转换为空间域，就能从一个圆周得到正弦曲线，或者从一系列圆周组合，得到方波曲线。
我们把方波可视化左右两边的运动点轨迹也画出来：
左半边由一系列圆周（Epicycle）组成的轨迹，与右半边的方波（Square）轨迹，其实只是同一个运动点在不同空间里的展现方式而已。
豁然开朗有没有！！！（此处插入打赏掌声！）
为了说的更清楚一些，接下来把空间域从二维换到三维，时间t不再映射到x轴，而是映射到z轴上：
上图从正面看过去，仍是一个圆周，而在三维空间里旋转坐标轴，从侧面看过去时，它实际上就是一个正弦曲线。
方波的也一样：
正面的橙色轨迹，转换角度，从侧面看，就是方波的曲线。
再次豁然开朗有没有！！！
进一步，根据傅里叶级数原理，为了得到方波（橙色），就要想办法得到组成方波的一系列正弦波（金黄色）： 
换一个视角，为了得到最终的运动轨迹（橙色），就要想办法得到组成轨迹的一系列Epicycle圆周（金黄色）：
而这个橙色的运动轨迹，可以是各种形状，也就是说，无论想画什么图形，只要按照傅里叶级数的原理，找到一系列Epicycle圆周，就可以画出来了！
金猪报喜：
傅里叶本尊：
怎么样，这样去理解傅里叶级数画画的原理，是不是容易了一些？ 饿不饿，再给你煮碗面？
接下来要解决的，就是如何为“任意”图案找到对应的一组Epicycle圆周的问题。
从数学上讲，就是求傅里叶级数里每个子项对应的傅里叶系数（a和b）：
各项系数a和b都找到后，合起来就可以得到f(x)。
求傅里叶系数的方法有很多，积分、傅里叶变换等。
详细的原理推导，我还没有复习重修，所以对于如何把大象装冰箱的回答，仍然是：
1.打开冰箱门；2.把大象装进去；3.关门。
直接对图案轨迹进行傅里叶变换，即可得到傅里叶系数。
而在计算机程序里，所有的数据都是离散的，所以实际上程序里用的是离散傅里叶变换。
关于这个环节，参考资源较多，尤其是用Web前端/JavaScript/p5.js做的不少，列在后面。
本文的配图和动画，是用 Blender + Python 完成：
等等老乡，还没完。
从上图里傅里叶的配色就能看出，我其实原本是打算画 Miku 酱的（初音未来）：
然而码到用时方恨不会，关于傅里叶画画这个问题，其实更难的是找到合适的图案轨迹，并不是随便一个图都能轻松画出来的，这也是为什么上文中，我给任意图案的“任意”两字加了引号。
从数学上讲，在一些特定条件的约束下，一个函数才能用傅里叶级数来表达。 而找出这个图案轨迹的过程，复杂度远超用傅里叶级数画轨迹本身。 后面将附上其他高人的文章供参考。
本文投入的精力仅能画简单的轨迹线，所以Miku就换成了傅里叶他老人家🙂：
最终效果（三个视角）:
参考资源
用Blender来学习Python创意编程，实现傅里叶级数可视化 如何用Blender来跑Python的入门学习笔记。
An Interactive Introduction to Fourier Transforms 非常棒的傅里叶级数画画的前端JavaScript实现。
Drawing with Fourier Transform and Epicycles Shiffman的讲解和p5.js实现。
But what is a Fourier series? From heat flow to circle drawings | DE4 3Blue1Brown神仙的讲解，官方B站号。
Epicycles, complex Fourier series and Homer Simpson's orbit 光头大爷的讲解，不次于3B！
手把手教你用傅立叶变换画可达鸭 更多的是在讲如何获取图案最优轮廓线。
Talk is cheap. Show me the code!
本例及【编程德鲁伊】系列大部分代码都开源在这里： https://github.com/avantcontra/coding-druid
公众号/B站/小红书/抖音/知乎：实验编程
实验编程社群资源、公开课： https://ghc.h5.xeknow.com/s/hzkMX
实验编程情报中心（会员）： https://ghc.h5.xeknow.com/s/2BCFuJ
Cheers🍻
Contra